Její otec byl významný matematik, ona kráčí v jeho šlépějích. Šárka Nečasová vede jedno z nejúspěšnějších oddělení v Akademii věd – alespoň co do počtu získaných Akademických prémií, nejvýznamnějšího grantu AV ČR. Věnuje se modelování mechaniky tekutin, dynamice pevných látek, jejich vzájemnému působení a interakci s okolím. Jaké projekty matematička aktuálně řeší? Tématu se věnuje časopis A / Věda a výzkum.
Zastavený plynovod Nord Stream 2, embargo na ruskou ropu. Jak budou do Evropy proudit fosilní paliva? Vypracovat projekt na ropovod či plynovod, aby v něm tekutina proudila správně, nevznikaly zpětné víry, turbulence nebo v některém místě příliš velké napětí či tlak a celá soustava správně fungovala, je víc než náročné. Z jiného soudku: chirurg voperuje pacientovi bypass – jak jej udělat, aby nenastaly problémy s prouděním krve? A jak je to s umělým srdcem? Kterak proudí vzduch kolem součástky letadla a co to má společného s hlukem?
Pojítkem uvedených příkladů jsou fyzikální jevy týkající se proudění tekutin. Inženýři, kteří ve firmách projektují různé součástky, v počítačích zkoumají, zda navržený systém bude fungovat správně. Když navrhnou novou součástku, na počítačových modelech prozkoumají, jak se bude chovat – jak ji kupříkladu v leteckém průmyslu bude obtékat vzduch. Někdy ji zkoumají ve větrném tunelu a měří, zda realita odpovídá předem vypočítaným hodnotám, které software poskytuje. Ale i ten musí někdo navrhnout – a jsou to právě matematici, kteří se podílejí na tom, aby výpočty takového programu dávaly smysl.
Když se navrhují větší soustavy nebo je třeba zkoumat chování určitého předmětu při extrémních rychlostech, měření v simulované situaci není vůbec snadné a mnohdy nezbývá než se spolehnout jen na výpočty. Letadlo, ropovod nebo umělé srdce se prostě musí vyrobit a vyzkoušet v praxi. Na správnosti výpočtů závisejí lidské životy. Pokud ovšem má software dodávat správná data, je potřeba, aby jeho matematický aparát pracoval správně – aby fungoval, blížil se co nejvíce realitě, zachovával platnost přírodních zákonů, například zákona o zachování energie. A také abychom věděli, zda je řešení jednoznačné, nebo ne.
Kdyby jich totiž existovalo více, může se software sice „trefit“ do matematicky správného řešení, ale v praxi by mohlo dojít ke katastrofálním následkům. Zřítila by se budova, spadl most…Některé složité soustavy rovnic jich přitom mohou mít i nekonečně mnoho. Jak mají správně vypadat rovnice proudění tekutin, jak je řešit, jak popsat a kvantifikovat matematickou analýzou řešení, jak nalézt i numerická řešení, tím se zabývá oddělení evolučních diferenciálních rovnic Matematického ústavu AV ČR, které vede Šárka Nečasová.
Evoluce za milion
Když se řekne evoluce, lidé si často vybaví vývoj druhů, postupnou změnu. Stejně tomu je u matematických rovnic. „Vyznačuje se tím nějaký děj, proces. Nejde o stacionární soustavu, ale obsahuje prvky závislé na čase – třeba jako v případě odhadu vývoje počasí,“ vysvětluje Šárka Nečasová.
Předpověď počasí, ale též způsob, jakým lidé prchají z přeplněného stadionu při požáru – i takové procesy lze matematicky modelovat. Vychází se z Navier Stokesových rovnic, které popisují proudění tekutin. Jde o poměrně složité diferenciální rovnice. Najít jejich takzvané hladké řešení je jedním z matematických problémů milénia a stále je na něj vypsána odměna milion dolarů. Z těchto slavných rovnic se pak vychází pro specializované případy, z nichž některé již badatelé vyřešili.
Vědci z Matematického ústavu AV ČR hledají řešení především pro stlačitelné tekutiny (plyny) a jejich interakci s pevnými látkami. Příkladem může být již zmíněné proudění vzduchu kolem nějakého předmětu, třeba tvaru letadla, plynu v potrubí, ale i šíření hluku v součástce stroje. Rovnice jsou tím více komplikované, čím více se snažíte přiblížit realitě. Započítat lze výměnu energie s okolím, pružnost, teplotu, různé další faktory. A s každým činitelem jsou rovnice obtížněji řešitelné. Pak se může stát, že řešení nenajdete, nebo neposkytuje relevantní výsledky. I malá chyba se totiž až příliš projeví…Samotné tekutiny mohou být stlačitelné (plyny) nebo nestlačitelné (kapaliny).
Liší se také newtonské kapaliny (například voda) a nenewtonské, které se v určitých situacích chovají odlišně (například med nebo kečup). „Zajímá nás také interakce s okolím – co dělá tekutina na hranici s pevnou látkou či elastickou stěnou, při různých nastavení okrajových podmínek, jakou hraje roli geometrie tvaru…tím vším se zabýváme,“ doplňuje Šárka Nečasová.
Aktuální výzvy
Šárka Nečasová je teprve druhou ženou, která získala Akademickou prémii – štědrý grant na podporu excelentního výzkumu v Akademii věd. Podpora do výše pěti milionů korun po dobu šesti let proti jiným grantům navíc slibuje minimální papírování. Má podpořit nerušené bádání špičkových týmů. Na co se tedy matematici zaměří? V rámci teoretického bádání ohledně modelování proudění tekutin se zabývají otázkami kontaktu s okrajem, hranicí – ať už tvořenou tuhou látkou, nebo elastickou.
Matematicky složité je třeba řešení takzvaných samokontaktů tělesa. Když dejme tomu v cévě proudí krev, zda se stane, že se někdy stěny dotknou samy sebe a zase se vrátí. Zatím se podařilo dokázat, že v případech, kdy platí takzvaná Dirichletova okrajová podmínka (tekutina neulpívá na hranici), lze dokázat, že ke kontaktu nedochází. Ovšem za předpokladu velké hladkosti a nestlačitelnosti.
Nebo jiný příklad. Máte pevné těleso, které má v sobě nějakou dutinu. Ta je vyplněna kapalinou. Celý systém rotuje. Mezinárodní vědecký tým prokázal, že takový systém se nakonec ustálí – přestane být závislý na čase. „Dokázali jsme totéž ve spolupráci s význačným vědcem G. P. Galdim pro dutinu vyplněnou stlačitelnou tekutinou, tedy plynem. Ustálí se v permanentně rotující rovnovážný systém. A navíc je to nezávislé jak na tvaru tělesa, tak na vlastnostech tekutiny,“ popisuje Šárka Nečasová. „To znamená, že byla potvrzena takzvaná Žukovského hypotéza.“
Matematika v praxi
Akademická prémie ale nepůjde jen na teoretické bádání. Z praktičtějších oblastí se vědci oddělení evolučních diferenciálních rovnic zabývají modely srážlivosti krve, obtékání okolo krevní pumpy, turbulence v krvi. Nebo třeba analýzou hlasu, při níž se snaží numericky simulovat kontakty na hlasivkách.
K tomu, aby se matematici dostali blíže k praxi, musejí spolu s inženýry najít společnou řeč. Od prvních kontaktů až po praktické využití spolupráce uběhnou zpravidla roky. „V Česku bylo dříve téměř nemožné najít nějakého partnera z průmyslu. To se změnilo, nyní jsme navázali spolupráci s Doosan Bobcat, s firmou spolupracuje jeden náš doktorand. Dále jeden ze členů týmu společně s doktorandkou spolupracuje na simulaci krevní pumpy s vědci v Lisabonu,“ vyjmenovává Šárka Nečasová.
V dnešní době je spolupráce mimořádně důležitá. Ve vědě dvojnásob. Matematika se může laikovi zdát jako samotářská práce, kdy si každý přemýšlí nad svým problémem, ale ve skutečnosti i matematici musí na problémech kooperovat. „V tomto směru nám paradoxně pomohla pandemie. Setkáváme se se zahraničními kolegy pravidelně a často, třebaže většinou v online prostoru,“ dodává Šárka Nečasová. A doplňuje: „V rámci pomoci Ukrajině jsme přijali dva ukrajinské kolegy, které se snažíme maximálně podporovat.“
Vědecká spolupráce probíhala i s Ruskem. Jenže válka vše změnila. Řada matematiků, se kterými čeští vědci pracovali, podepsala na začátku konfliktu výzvu k ukončení války prezidentu Vladimiru Putinovi. „Kde jsou dnes, o tom nemám žádné zprávy,“ dodává smutně Šárka Nečasová. Spolupráce s ruskými matematiky, kteří jsou tradičně velmi dobří, je tak momentálně u ledu. Stejně jako mnohé, v úvodu zmíněné ropovody či plynovody včetně Nord Stream 2. (11.8.2022)